がんの人が要精密検査とされる率は約90％だという。これはつまり「健康診断で胃X線検査が要精密検査だった場合、胃がんの可能性が非常に高い」と言えるのか。

この場合、次の仮定をたててみる。

①「がんにかかっている人」1000人に1人（0.1％）
②「がんの人が要精密検査になる率」90％
③「本当はがんではないのに、精密検査に回される率」10％

・がんで陽性反応あり：0.1％×90％＝0.09％
・がんでないのに陽性反応あり：99.9％×10％＝9.99％

陽性反応がでる率は0.09％＋9.99％＝10.08％
この内、がんにかかっている確率は0.09／10.08＝約0.9％

健康診断で胃X線検査が要精密検査だった場合に、実際にがんである確率は1％にも満たない。このように、結果から原因の確率を計算する定理を「ベイズの定理」という。人はインパクトのある数字を見ると、確率的に稀な事を過大評価してしまいがちである。「個々の比率だけを見て、全体の比率を見ない」のは、本質を見誤る原因である。

あるクラスに23人の生徒がいる。彼・彼女らの内、同じ誕生日の人がいる確率は何％か。この確率は50.7％もある。

まず23人の中で「あなたと同じ誕生日の人」がいる確率は約6.1％に過ぎない。私達が最初に頭に思い描くのは「自分と同じ誕生日の人」がいる確率で、それは確かにとても小さい。ところが23人の人がいる時、「どの誕生日でも良いから、同じ誕生日のペアが1組以上になる確率」であり、そもそも前提が異なる。

一般にn通りある場合、50％になるのは、およそ1.18√n人集めた時になる。1.18√365＝22.5人となる。

100回サイコロを振るといった、不規則な数字でも、たくさんの回数で平均を取ってみると、だんだんと真の平均値に近づいていく。これを「大数の法則」と言う。

（1+2+3+4+5+6）÷6＝3.5

サイコロを振る回数を増やしていくにつれ、徐々に3.5に近づいていく。この大数の法則には必ず「前提」がある。その前提は「真の平均が存在する」という事である。数学には「真の平均が存在しない」場合がある。

例えば、ダーツ実験によると、極端に0から外れた値が出るため、大数の法則が成り立たない。つまり、平均が存在しない事になる。